கோடலின் நிரூபணம் (Godel’s Proof)

ஒரு விதத்தில் பார்த்தால் கணிதம் என்பதே பல தேற்றங்களின் தொகுப்புதான். தேற்றம் என்பதை formal ஆக இப்படி வரையறுக்கலாம். நமக்கு தெரிந்த “உண்மைகளை”, தேற்றங்களை ஆதாரமாக வைத்து இன்னும் சில தேற்றங்களை கண்டுபிடிக்கிறோம். உதாரணமாக நமக்கு இப்படி ஒரு தேற்றம் தெரியும் என்று வைத்துக் கொள்வோம் – எந்த எண்ணையும் பூஜ்யத்தால் பெருக்கினால் பூஜ்யம்தான் விடை. அதாவது: For all x , x times 0 is 0 என்று நமக்குத் தெரியும். இந்த தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு இப்போது ஒரு புதிய தேற்றத்தை நாம் நிறுவ முடியும். இரண்டு எண்களின் பெருக்குத் தொகை பூஜ்யம் என்றால் அந்த இரண்டில் ஏதோ ஒரு எண் பூஜ்யம். அதாவது: if x times y is 0, then x is 0 or y is 0. சிம்பிள், சரிதானே! இப்படி தேற்றங்களை கண்டுபிடித்துக் கொண்டே போகலாம்.

கணிதத்தின் லட்சியமே இதுதான் என்று சொல்லலாம். மிகச் சில axioms – இவைதான் அடிப்படை விதிகள் – மற்றும் வரையறைகளோடு ஆரம்பிக்க வேண்டும். இந்த அடிப்படை விதிகள், வரையறைகள் பொதுவாக நிஜ வாழ்க்கையிலிருந்து எடுக்கப்படும். (இரண்டு கோடுகள் ஒரு புள்ளியில்தான் சந்திக்கும் என்கிற மாதிரி) அந்த அடிப்படை விதிகளை அஸ்திவாரமாக வைத்து மேலும் மேலும் தேற்றங்கள் நிறுவப்படும். நிறுவுவதற்கு லாஜிக் பயன்படுத்தப்படும். எந்தக் காலத்திலும் 1=2 என்பது போன்ற தவறுகளை தேற்றங்களாக நிறுவமுடியாது. இருக்கும் அத்தனை தேற்றங்க ளையும் நிறுவக் கூடிய ஆற்றல் அந்த axioms, மற்றும் லாஜிக்குக்கு இருக்க வேண்டும். Trivial ஆக சொன்னால்: கூட்டல் என்ற சின்ன விஷயத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். எல்லா கூட்டல் உண்மைகளையும் நிறுவ வேண்டியதில்லை. உதாரணமாக 176000 கோடியுடன் ஒன்றைக் கூட்டினால் என்ன விடை என்று ஏற்கனவே நிறுவி இருக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் நிறுவக் கூடிய ஆற்றல் கூட்டல் என்ற சிஸ்டத்துக்கு இருக்க வேண்டும்.

இது அற்ப விஷயம் இல்லை. மயிர் பிளக்கும் விஷயமும் இல்லை. நான்கு வண்ண தேற்றம் (Four Color Theorem) என்று ஒரு தேற்றம் இருக்கிறது. – ஒரு மேப்பில் (map) பல பிரதேசங்களை காட்டுகிறோம். ஒவ்வொரு பிரதேசத்துக்கும் ஒரு வண்ணம் கொடுக்கிறோம். அடுத்தடுத்து இருக்கும் பிரதேசங்களுக்கு (அதாவது இந்த பிரதேசங்களுக்கு ஒரு பொதுவான எல்லை இருக்கிறது) வேறு வேறு வண்ணம் கொடுத்தால்தான் அவை வேறு வேறு பிரதேசங்கள் என்று தெரியும் இல்லையா? அப்படித்தான் கொடுக்கப் போகிறோம். அதிக பட்சம் எத்தனை வண்ணங்கள் வேண்டும்? நான்கு வண்ணங்கள் போதும் என்கிறது இந்த தேற்றம். இதை சமீபத்தில்தான் நிறுவ முடிந்தது. அது வரை இந்த தேற்றம் உண்மைதானா, உண்மையாக இருந்தாலும் கணிதத்தால் அதை உண்மை என்று நிறுவ முடியுமா என்று தெரியவில்லை. இப்படி நீண்ட காலமாக நிறுவ முடியாத தேற்றங்கள் உண்டு – Goldbach’s Conjecture இன்னும் நிறுவப்படவில்லை. Fermat’s Last Theorem நானூறு வருஷங்களுக்குப் பிறகு சமீபத்தில்தான் நிறுவப்பட்டது.

பல கணித மேதைகள் சரியான அடிப்படை விதிகளைக் கொண்டு (தேவைப்பட்டால் இன்னும் சில அடிப்படை விதிகளை சேர்த்துக் கொண்டாவது) எல்லா உண்மையான தேற்றங்களையும் நிறுவும் ஆற்றல் கணிதத்துக்கு உண்டு என்று நிறுவ முயற்சி செய்தார்கள். பெர்ட்ராண்ட் ரஸ்ஸல், டேவிட் ஹில்பர்ட் போன்றவர்கள் இவர்களில் பிரபலமானவர்கள். இவர்கள் எல்லாருக்கும் கர்ட் கோடல் (Kurt Godel ) ஆப்பு வைத்துவிட்டார்.

கோடல் 1931-இல் ஒரு seminal பேப்பரை எழுதினார். அடிப்படை விதிகள், லாஜிக் என்று போகும் எந்த சிஸ்டத்திலும் சில உண்மையான தேற்றங்களை நிறுவ முடியாது என்பதுதான் அவரது கண்டுபிடிப்பு. அதாவது எந்த கணித சிஸ்டமும் முழுமையானது இல்லை. எல்லா உண்மையான தேற்றங்களையும் இப்படிப்பட்ட – அடிப்படை விதிகள், அதை வைத்து தேற்றங்கள், நிறுவப்பட்ட தேற்றங்களை வைத்து மேலும் தேற்றங்கள் – எந்த சிஸ்டத்தாலும் நிறுவ முடியாது. அடிப்படை விதிகளை எவ்வளவு விரிவுபடுத்தினாலும் இது முடியாத காரியம். இதைத்தான் கோடல் இந்த பேப்பரில் நிரூபிக்கிறார்.

கோடலின் இந்த கண்டுபிடிப்பைப் பற்றி எர்னெஸ்ட் நேகல் (Ernest Nagel), மற்றும் ஜேம்ஸ் நியூமன் (James Newman ) இருவரும் ஒரு சின்ன புத்தகம் – Godel’s Proof – எழுதி இருக்கிறார்கள். கோடல், எஷர் அண்ட் பாக் (Godel, Escher and Bach) என்ற புகழ் பெற்ற புத்தகத்தை எழுதிய டக்ளஸ் ஹாஃப்ஸ்டட்டர் (Douglas Hofstadter) அதன் இரண்டாம் பதிப்பை கொண்டு வந்திருக்கிறார். (என்) தலையை சுற்ற வைக்கும் கணிதத்தை சிம்பிளாக சொல்ல முயற்சித்திருக்கிறார்கள்.

சின்ன புத்தகம்தான். நூறு பக்கம் இருக்கலாம். 75 பக்கத்துக்கு மேல்தான் (எனக்கு) தலை சுற்ற ஆரம்பிக்கிறது. ஆனால் படித்துப் புரிந்து கொள்ளக் கூடிய புத்தகம்தான்.

நான் புரிந்து கொண்டது இதுதான். கணித நிரூபணம் என்பது ஒரு விதமான மொழி. For all x , x times 0 is 0 என்பதை நீங்கள் கணித மொழியின் alphabet-இல் சில குறியீடுகளை வைத்து சுருக்கமாக எழுதலாம். அந்த கணித font-ஐ வோர்ட்பிரஸ்ஸில் எப்படி பயன்படுத்துவது என்று தெரியாததால் நான் ஆங்கிலத்தில் அதை விரிவாக எழுத வேண்டி இருக்கிறது.

இந்த alphabet-இன் ஒவ்வொரு எழுத்துக்கும் கோடல் ஒரு எண்ணை map செய்கிறார். உதாரணமாக 0 என்ற குறியீட்டுக்கு 6 என்று ஒரு எண். (இது கோடலின் mapping இல்லை, நான் ஒரு உதாரணம் கொடுத்திருக்கிறேன், அவ்வளவுதான்) அப்படி என்றால் ஒவ்வொரு ஸ்டேட்மென்டையும் ஒரு எண்ணாக மாற்றலாம். இதுதான் அந்த ஸ்டேட்மேன்டின் கோடல் எண் (Godel Number). ஒவ்வொரு நிரூபணத்திலும் உள்ள ஸ்டேட்மென்ட்களை இப்படி கோடல் எண்ணாக மாற்றலாம். ஒவ்வொரு நிரூபணமும் ஒரு சில கோடல் எண்களின் தொகுப்பே.

கணிதத்தில் சில புகழ் பெற்ற paradoxes உண்டு. சிம்பிளான ஒரு ஸ்டேட்மெண்டை எடுத்துக் கொள்வோம் – “நான் சொல்வதெல்லாம் பொய்”. நான் சொல்வதெல்லாம் பொய் என்றால் இந்த ஸ்டேட்மெண்டும் பொய். அப்படி என்றால் நான் சொல்வதெல்லாம் பொய் இல்லை, இந்த ஒரு ஸ்டேட்மென்டாவது உண்மை! ஆனால் இந்த ஸ்டேட்மென்ட் உண்மை என்றால் நான் சொல்வதெல்லாம் பொய். அப்படி என்றால் இந்த ஸ்டேட்மென்ட் பொய்!

இதன் இன்னொரு புகழ் பெற்ற வடிவம்தான் நாவிதன் paradox. (barber paradox ). தமிழில் எழுதி மூச்சு வாங்குவதால் ஆங்கிலத்திலேயே கட் பேஸ்ட் செய்கிறேன்.
Suppose there is a town with just one male barber; and that every man in the town keeps himself clean-shaven: some by shaving themselves, some by attending the barber. It seems reasonable to imagine that the barber obeys the following rule: He shaves all and only those men in town who do not shave themselves.
Under this scenario, we can ask the following question: Does the barber shave himself?
Asking this, however, we discover that the situation presented is in fact impossible:
If the barber does not shave himself, he must abide by the rule and shave himself.
If he does shave himself, according to the rule he will not shave himself.

கோடலின் நிரூபணமும் இதன் ஒரு வடிவத்தைத்தான் பயன்படுத்துகிறது. இந்த கோடல் எண்களின் தொகுப்பை நிறுவ முடியாது என்ற தேற்றத்தை கோடல் நிறுவ முயற்சிக்கிறார். முடிவதில்லை. அதுதான் சிஸ்டத்தின் முழுமை அற்ற தன்மையைக் காட்டுகிறது. (எனக்கு இந்த பகுதி கொஞ்சம் ததிங்கினத்தோம், மீண்டும் படிக்க வேண்டும்)

பொதுவாக self-referential ஸ்டேட்மென்ட்கள் கணிதத்தில் பெரிய பிரச்சினை. அதை கோடல் formal ஆக அணுகி நம் விஞ்ஞானத்தின் முழுமை அற்ற தன்மையை காட்டுகிறார்.

புத்தகத்தை படியுங்கள் என்று சிபாரிசு செய்கிறேன். அமேசான் தளத்தில் கிடைக்கிறது. ஏழு டாலர் சொச்சம் விலை.