Skip to content

1+1 = ? – ஒரு கணித மேதையின் பிரச்சினைகள்

by மேல் பிப்ரவரி 9, 2017

logicomixஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டு என்று தெரியாத குழந்தை கூட கிடையாது. ஆனால் உயர்கணிதத்தில் அது பெரிய பிரச்சினை. ஒன்றும் ஒன்றும் எப்போதும் இரண்டுதானா? டைனோசார்கள் உலவிய நாட்களிலும் ஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டுதானா? இன்னும் பல கோடி ஆண்டுகள் கழித்தும் இதே விடைதானா? செவ்வாய் கிரகத்தில் ஒன்றையும் ஒன்றையும் கூட்டினால் இரண்டுதான் விடையா? நாளை இன்னொரு கிரகத்தின் ‘sentient’ ஜீவராசி ஒன்றை சந்திக்கிறோம் என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள், அந்த ஜீவராசியின் கணிதத்திலும் ஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டுதானா? அட நாளை நம்மூரிலேயே தேனீக்களும் ‘sentient’ உயிரினம்தான் என்று தெரிய வருகிறது, தேனீ கணிதத்திலும் இது உண்மையாக இருக்குமா?

இது வேலை வெட்டி இல்லாதவர்கள் How many angels can dance on the head of a pin? என்று செய்யும் ஆராய்ச்சி அல்ல. இன்றைய கணினிகளில் 1+1 எப்போதும் இரண்டுதான், ஆனால் 1/3 + 2/3 எப்போதும் ஒன்றுதான் என்று சொல்ல முடியாது. சில வருஷங்களுக்கு முன் pentium bug என்று ஒரு பிரச்சினை நினைவிருக்கலாம். ஏதோ சில (அபூர்வமான) கணக்குகள் தவறாக இருந்தன. ஏன்? எண்களை கணினியில் எப்படி represent செய்ய முடியும் என்ற பிரச்சினை இன்றும் முழுதாகத் தீர்ந்துவிடவில்லை.

பெர்ட்ரண்ட் ரஸ்ஸலை தத்துவ மேதையாகத்தான் அனேகருக்குத் தெரியும். ரஸ்ஸல் கணித மேதையும் கூட. அவரது தத்துவ விசாரங்கள் எல்லாம் அவருடைய கணித ஆராய்ச்சியிலிருந்து உதித்தவைதான். ரஸ்ஸலும் வைட்ஹெடும் இணைந்து எழுதிய பிரின்சிபியா மாதமாடிகா 1+1 = 2 என்பதை 362 பக்கங்களில் – கணித சூத்திரங்கள் (formulae) அடர்த்தியாக நிறைந்திருக்கும் பக்கங்கள் – நிறுவுகிறது.

லாஜிகாமிக்ஸ் ஏறக்குறைய ரஸ்ஸலின் கதைதான். Apostolos Doxiadis மற்றும் Christos Papadimitriou இருவரும் எழுதி இருக்கிறார்கள். எப்படி? காமிக்ஸ் புத்தக வடிவில்! காமிக்ஸ் புத்தக வடிவில் ஓரளவு உயர்கணிதத்தைப் பற்றி எழுதப்பட்டது இதுதான் முதல் முறை ஒரே முறை என்று நினைக்கிறேன்.

யோசித்துப் பாருங்கள், 1+1 = 2 என்பது பெரிய கம்ப சூத்திரமாகத் தெரியவில்லை. ஆனால் 1 என்ற குறியீட்டின் பொருள் என்ன? +? இப்படியே பொருள் தேடிக் கொண்டே போனால் It is turtles all the way down! என்றுதான் முடியும் இல்லையா? எங்கோ ஓரிடத்தில் வரையறைகளை (axioms) பயன்படுத்த வேண்டி இருக்கிறது, இந்தக் குறியீட்டுக்கு இதுதான் பொருள் என்று வரையறுக்க வேண்டி இருக்கிறது. உதாரணமாக 1 என்பதை ஒரே ஒரு உறுப்பினர் இருக்கும் அனைத்து தொகுப்புகளுக்கும் பொதுவான அடிப்படை குணம் என்று ரஸ்ஸல் வரையறுக்கிறார். ஆங்கிலத்தில் சொன்னால் 1 is the common, basic property of all sets with exactly one element. (விருப்பமுள்ளவர்கள் இந்த வாக்கியத்திலும் ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் வரையறுத்துக் கொண்டே போகலாம்.). பிறகு எண்களைப் பற்றி தேற்றங்களை நிறுவுவதற்கு கணிதத்தின் set theory-ஐப் பயன்படுத்தலாம். அப்படித்தான் 1+1 = 2 என்று நிறுவ 362 பக்கம் ஆகி இருக்கிறது என்று நினைக்கிறேன்.

bertrand_russellரஸ்ஸல் பிரபு குடும்பத்தில் பிறந்தவர். அவரது தாத்தா ரஸ்ஸல் பிரபு இங்கிலாந்தின் பிரதமராக இருந்தவர். சிறு வயதிலேயே பெற்றோர் இறந்துவிட, கண்டிப்பான பாட்டியின் கண்காணிப்பில் வளர்ந்திருக்கிறார். கணிதத்தின் நிச்சயத்தன்மை (வரையறைகள், வரையறைகளிலிருந்து தேற்றங்கள்…) அவரைக் கவர்ந்திருக்கிறது. ஆனால் கல்லூரி காலத்திலேயே கணிதத்தின் அஸ்திவாரங்கள் (ஒன்றும் ஒன்றும் எப்போதும் இரண்டுதானா?) கொஞ்சம் பலவீனமானவை என்று உணர்ந்திருக்கிறார். சரியான அடிப்படை விதிகளைக் கொண்டு (தேவைப்பட்டால் இன்னும் சில அடிப்படை விதிகளை சேர்த்துக் கொண்டாவது) எல்லா உண்மையான தேற்றங்களையும் நிறுவும் ஆற்றல் கணிதத்துக்கு உண்டு என்று நிறுவ முயன்றிருக்கிறார்.  அந்த முயற்சிதான் Principia Mathematica.

இந்தக் காலத்தில்தான் அவரது புகழ் பெற்ற நாவிதர் முரண் (Barber Paradox ) உருவாகியது. மிக சிம்பிளாக: ஒரு ஊரில் ஒரு நாவிதர். ஊரில் ஒரு விதி இருக்கிறது. சுயமாக தாடியை சிரைத்துக் கொள்ளாத அனைவரும் நாவிதரிடம்தான் சிரைத்துக் கொள்ள வேண்டும். நாவிதர் தன் தாடியை சிரைத்துக் கொள்ளலாமா? ஆம் என்றால் அவர் தன் தாடியை தானே சிரைத்துக் கொள்கிறார், அதனால் நாவிதர் சிரைக்கக் கூடாது என்று சொல்லலாம். இல்லை என்றால் அவர் தன் தாடியேத் தானே சிரைத்துக் கொள்ளாததால் நாவிதர்தான் சிரைத்துவிட வேண்டும் என்று சொல்லலாம்.

முதல் உலகப் போர் கூடாது என்று பிரச்சாரம் செய்து அதற்காக சிறைப்படுத்தப்பட்டிருக்கிறார்.

பிற்காலத்தில் தத்துவ மேதை விட்கென்ஸ்டைன் இவரிடம் படித்திருக்கிறார். விட்கென்ஸ்டைன் சுவாரசியமான ஆளுமை, ஆனால் இன்று வரை எனக்கு அவர் என்ன சொல்கிறார் என்று புரிந்ததில்லை, அதனால் வேறு எதுவும் எழுதப் போவதில்லை. விருப்பம் உள்ளவர்கள் விக்கி குறிப்பைப் படித்துக் கொள்ளுங்கள்.

அதற்குப் பிறகு கர்ட் கோடல் ஆட்டத்துக்கு வருகிறார். வரையறைகள், தேற்றங்கள், லாஜிக் என்று இயங்கும் எந்த கணித சிஸ்டமும் முழுமையானது அல்ல என்பதை கணிதத்தை வைத்தே நிறுவுகிறார். ரஸ்ஸலின் முயற்சி தோல்வி என்று தெரிகிறது.

எப்போதுமே நான் காமிக்ஸ் புத்தகங்களை விரும்பிப் படிப்பவன். இதில் சித்திரங்கள் நன்றாக இருக்கின்றன. புத்தகத்தின் நடுவில் ஆசிரியர்கள் அவ்வப்போது தாங்கள் எப்படி எழுதினோம் என்பதைப் பற்றி பேசுகிறார்கள். அந்தப் பகுதிகள் கொஞ்சம் உறுத்தலாக இருந்தாலும் படியுங்கள் என்று பரிந்துரைக்கிறேன்.

புத்தகம் முழுவதும் சின்னச் சின்ன சுவாரசியமான விஷயங்கள். Principia Mathematica புத்தகத்தை பிழை திருத்தவோ, அதில் தவறுகளை சுட்டிக் காட்டவோ யாரும் முன்வரவில்லை. யாருக்கும் புரியவில்லை! பிழை திருத்தவே ஆளில்லை என்றால் புத்தகத்தை எவன் வாங்குவான்? ரஸ்ஸலும் வைட்ஹெடும் சொந்தச் செலவில் வெளியிட்டிருக்கிறார்கள்.

இவரது முன்னோடியான ஃப்ரெகே கணிதத்தில் அஸ்திவாரத்தை பலப்படுத்த set theory-ஐப் பயன்படுத்தி பல வருஷங்களாக ஒரு புத்தகம் எழுதிக் கொண்டிருக்கிறார். தனது புத்தகத்தைப் பதிக்கப் போகும்போது இந்த நாவிதர் முரண் வெளிவந்திருக்கிறது. இந்த முரண் set theory-இன் அடிப்படையையே கேள்விக்குள்ளாக்குகிறது, ஃப்ரெகே தனது புத்தகத்தை முதலில் பதிக்க வேண்டாம் என்று சொல்லி இருக்கிறார். பிறகு என் புத்தகத்தின் அடிப்படையையே இந்த முரண் பலவீனப்படுத்துகிறது என்பதை முதல் பக்கத்தில் சொல்லிவிட்டு பிறகுதான் பதித்திருக்கிறார்.

Principia Mathematica புத்தகத்தை முழுவதும் படித்த ஒரே ஆள் கோடல்தானாம்!

உயர் கணிதத்துக்கு நல்ல, படிக்கக் கூடிய அறிமுகம். படியுங்கள் என்று பரிந்துரைக்கிறேன்.

தொகுக்கப்பட்ட பக்கம்: கணிதம், காமிக்ஸ்

Advertisements

From → Comics, Math

மறுமொழியொன்றை இடுங்கள்

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / மாற்று )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / மாற்று )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / மாற்று )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / மாற்று )

Connecting to %s

%d bloggers like this: