யூக்ளிடின் ஜன்னல் (Euclid’s Window)

(மீள்பதிப்பு, மூலப்பதிப்பு அக்டோபர் 12, 2010-இல்)

லியனார்ட் ம்ளோடினோ (Leonard Mlodinow) அறிவியல் கருத்துக்களை அறிவியலில் வலுவான அடிப்படை இல்லாதவர்களும் சுலபமாகப் புரிந்து கொள்வதற்காக புத்தகங்கள் எழுதுபவர். இந்தத் துறையில் தமிழில் மிகச் சிறப்பாக எழுதியவர் சுஜாதாதான். ஒரு காலத்தில் பெ.நா. அப்புசாமி எழுதிய புத்தகங்களைப் படித்து எனக்கு அறிவியலில் ஆர்வம் ஏற்பட்டது/பெருகியது. இன்று யாராவது முயற்சிக்கிறார்களா என்று கூடத் தெரியவில்லை.

இந்தப் புத்தகம் வடிவகணிதத்தின் (geometry) அடிப்படைகளை விளக்குகிறது. வடிவகணிதம் என்றால் ஓடுபவர்கள் கூடப் புரட்டிப் பார்க்கலாம். அத்தனை தெளிவாக எழுதப்பட்டது.

யூக்ளிட் என்ற மனிதரைப் பற்றி நமக்கு எதுவும் தெரியாது. அவர் ஆண் என்பது கூட வெறும் யூகம்தான் என்று நினைக்கிறேன். ஆனால் அவர் எழுதிய Elements புத்தகம்தான் ஐரோப்பிய அறிவியலின் மூல நூல். கணிதத்தின் இன்றைய rigor – அதாவது மிக தெளிவாக தேற்றங்களை (theorems) நிரூபிப்பது – பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன் எழுதப்பட்ட இந்த புத்தகத்தில் இருப்பது பெரிய அதிசயம். (இந்திய கணிதத்தில் பொதுவாக இந்த rigor குறைவு)

Elements புத்தகம் இப்படி ஆரம்பிக்கிறது. புள்ளி (point) என்றால் என்ன, கோடு (line) என்றால் என்ன மாதிரி சில வரையறைகள் (definitions), நிரூபிக்கத் தேவை இல்லாத சில அடிப்படை முடிவுகள் (postulates) – இரண்டு புள்ளிகளை ஒரு கோட்டால் இணைக்கலாம் மாதிரி – தெளிவாக வைக்கப்படுகின்றன. பிறகு இந்த முன் முடிவுகளின் அடிப்படையில் சில தேற்றங்கள், அந்த தேற்றங்களின் வைத்து வேறு சில தேற்றங்கள் என்று போகிறது. வீடு கட்டும்போது அஸ்திவாரம், பிறகு வீடு, பிறகு முதல் மாடி என்று போவதில்லையா? அந்த மாதிரி.

இந்த அடிப்படை முடிவுகளில் ஐந்தாவது அடிப்படை – the famous fifth postulate – ஒரு தேற்றமாக இருக்க வேண்டும் என்று ரொம்ப நாளாக எல்லாருக்கும் ஒரு நினைப்பு இருந்தது. அதை ஆங்கிலத்திலேயே தருகிறேன். – Given any straight line and a point not on it, there “exists one and only one straight line which passes” through that point and never intersects the first line, no matter how far they are extended. தமிழில் சொன்னால்: ஒரு கோடு, அந்த கோட்டில் இல்லாத ஒரு புள்ளி. அந்த புள்ளியின் மூலம் முதல் கோட்டை வெட்டாத ஒரே ஒரு கோடுதான் வரைய முடியும். இன்னும் சுலபமாக சொன்னால் ஒரு கோடு, ஒரு புள்ளி. அந்த புள்ளியின் மூலம் ஒரே ஒரு இணைகோடுதான் (parallel line) வரைய முடியும்.

ஆனால் parallel என்றால் என்ன? நம் எல்லாருக்கும் இது புரிகிறது, ஆனால் கணிதத்தில் இதை எப்படி சொல்வது? அதைத்தான் “வெட்டாத ஒரு கோடு” என்கிறார். நீங்கள் ஒரு காகிதத்தில் ஒரு கோட்டை வரைந்து, கொஞ்சம் தள்ளி ஒரு புள்ளியை வைத்தால் அட ஆமாம், இந்தப் புள்ளியை உள்ளடக்கி ஒரே ஒரு இணைகோடுதான் வரைய முடியும் என்று சொல்வீர்கள்.

பல நூற்றாண்டுகளாக கணித வல்லுனர்கள் பலருக்கும் இது அடிப்படை முன்முடிவாக இருக்க வேண்டாம், இது நிரூபிக்கக் கூடிய தேற்றம்தான் என்று தோன்றிக் கொண்டே இருந்தது. இதைத் தேற்றமாக நிரூபிக்க பலரும் படாத பாடுபட்டனர். ஆனால் பப்பு வேகவில்லை. ஏனென்றால் இது சில வடிவகணிதத்தில்தான் பொருந்தும்! காகிதத்துக்கு பதிலாக ஒரு பந்தில் ஒரு “கோடு” போடுங்கள். இந்த கோடு உண்மையில் ஒரு வட்டம் – பந்தை சுற்றி வந்து ஆரம்பித்த இடத்திலேயே முடியும் இல்லையா? இதை வெட்டாத இன்னொரு “கோடு”, ஆனால் பார்த்தாலே இணையாக ஆக இல்லாத கோடு வரைய முடியாதா? இந்த படத்தில் இருக்கும் சிவப்பு “கோடும்” பச்சை “கோடும்” இணையானவை என்று நாம் சொல்ல மாட்டோம். ஆனால் அவை ஒன்றை ஒன்று வெட்டுவதில்லை!

ஒன்றும் புரியவில்லை என்றால் கவலைப்படாதீர்கள். என்னை விட ம்ளோடினோ நன்றாக எழுதி இருக்கிறார், அது புரிந்துவிடும். கணிதம் எவ்வளவு சுவாரசியமானது என்பதை இந்த புத்தகத்தை படித்தால் புரிந்து கொள்ளலாம். இப்படிப்பட்ட வடிவகணிதத்தை அடிப்படையாக வைத்துதான் ஐன்ஸ்டீன் தன் ரிலேடிவிட்டி தியரியை உருவாக்க முடிந்தது என்று நினைவு வைத்துக் கொள்ளுங்கள்!

பின்குறிப்பு: பி.ஏ. கிருஷ்ணன் இந்தப் புத்தகத்தைப் பற்றி ஒரு நல்ல அறிமுகத்தை எழுதி இருக்கிறார் – அ. முத்துலிங்கம் தொகுத்த கடிகாரம் அமைதியாக எண்ணிக் கொண்டிருக்கிறது என்ற புத்தகத்தில் படிக்கலாம்.

பின்பின்குறிப்பு: கணிதம், வடிவகணிதம், இணைகோடு என்பதற்கெல்லாம் இன்னும் நல்ல தமிழ் வார்த்தைகள் இருக்கின்றனவா? எனக்கு வடமொழி வார்த்தைகளில் எந்தப் பிரச்சினையும் இல்லை, (இணைகோடு வடமொழி இல்லை என்றுதான் நினைக்கிறேன்) ஆனால் நல்ல தமிழ் வார்த்தையாக இருந்தால் இன்னும் நன்றாக இருக்கும், பழக்கத்தில் இருக்கும் வார்த்தையாக இருந்தால் உத்தமம். கணிதம், வடிவகணிதம் என்பதெல்லாம் பழக்கத்தில் இருக்கும் வார்த்தைகள் என்று தோன்றவில்லை.

தொகுக்கப்பட்ட பக்கம்: கணிதம்

தொடர்புடைய சுட்டிகள்:
கடிகாரம் அமைதியாக எண்ணிக் கொண்டிருக்கிறது தொகுப்பு பற்றி அ. முத்துலிங்கம்
கடிகாரம் அமைதியாக எண்ணிக் கொண்டிருக்கிறது புத்தகம் வாங்க