The Equation That Couldn’t Be Solved

நான் இந்தப் பதிவையும் தமிழில் எழுத முயற்சி கூட செய்யப் போவதில்லை.

I wrote about Men of Mathematics recently. One of my favorite chapters in that book is about Evariste Galois.

Galois’s life was a tragedy, but simply wonderful. He died as a 20 year youth. He couldn’t have worked on math for more than 3-4 years. In that short period, he made an impact that is still being felt. The theories he developed are still fruitful.

Galois’s life is the perfect illustration of Murphy’s law. Whatever could go wrong, went wrong for him. A brilliant student, he got fascinated by mathematics and started ignoring other subjects. His genius was recognized and he was encouraged to try to join Ecole Polytechnique, the premier French “college”, where Cauchy and Fourier taught. He was rejected, apparently because he did much of the solving in his mind and skipped several steps in answering questions. He was encouraged to submit a paper outlining his revolutionary ideas, Fourier takes the paper home and dies. The paper was lost. He re-submits the paper, this time Cauchy takes the paper, Cauchy is impressed, but mysteriously, no further progress. He re-re-submits his paper, this time Poisson takes it, but he couldn’t understand the paper and rejects it. Then Galois gets into politics, goes to jail, comes back, fights a duel and dies.

I will be honest. Galois’s life was just fascinating. But I couldn’t understand Galois’s math from that book. All I could get was that he developed Group theory, with which he proved that quintic equations and equations of higher degree couldn’t be solved by a formula. How? It was not clear at all.

Once I went to college, I had access to some books that explained Group theory. I even had a class in M.Tech. about groups and fields. But it was all about the “How” and “What” about of Group theory, not about “Why”. In other words, I got lecture after lecture (or chapter after chapter) about what a group is, how to test for groups, what a field is, what a normal subgroup is, what a maximal subgroup is and so on. I had no clue about why I am learning about this. If I had found a chapter (or lecture) about how this is being used to proved a quintic equation couldn’t be solved by a formula, that would have been enough. The books/professor were all about the theory, that’s it. I had serious, probably unjustified, doubts about whether my professor even knew how to use group theory to solve non-textbook problems.

And I stumbled on this book a couple of weeks back – The Equation That Couldn’t Be Solved – by Mario Livio. Livio was fascinated by Galois and set out to explain Galois’s work and his impact. I knew some of it from my theoretical classes, but to me the takeaway is the connection between quintic equation and group theory.

Livio does a decent job of explaining how math progressed from quadratic/cubic/quartic equations to the struggles with quintic. He has a chapter on Abel, who first proved that quintic equations cannot have a formulaic answer. Then Galois’s life is covered in a chapter. And then he explains the basics of group theory, how symmetry can be described by groups, and several applications.

I have to admit – I still don’t understand the proof 100%. There is a jump from a step to another which has gaps for me. But I am happy! I am nearer to understanding a problem that I gave up years ago!

You can get the ebook here. Recommended for people who want to understand one of achievements of math…

Category: Math

Men of Mathematics (E.T. Bell)

நான் இந்தப் பதிவை தமிழில் எழுத முயற்சி கூட செய்யப் போவதில்லை.

In my teens, I came across a book called Men of Mathematics by Eric Temple Bell, a minor mathematician. I spent countless hours reading and re-reading that book.

I was a tolerably good student at that time, especially good at high school level math. But while I could easily and frequently score 100 marks in calculus and algebra tests, I just could not understand how one can cancel some terms involving delta-x because it is close to zero but not others; or how one can divide by delta-x that is almost close to zero.

I really had trouble during my +1 year. My math teacher was one K.V. Srinivasan or KVS, an old school teacher (He had a B.A. in math, not B.Sc.) at St. Joseph’s, Chengalpattu. I repeatedly asked him about the delta-x issue and he couldn’t give me a satisfactory explanation. His explanations looked very weak to me – I am sure he was as tired of my questions as I was tired of his answers.

Similarly, just wtf is an imaginary number? I mean, what number, when squared, yields a negative number? I was able to use them well, without really understanding it. Or even the negative numbers – why in the world would multiplying two negative numbers yield a positive number? I was used to thinking about negative numbers as debt – but why would multiplying one debt by another give me a profit? I didn’t have any teacher, any book, any resource that could answer such fundamental questions. I also couldn’t see any use for trigonometry. Algebra – which was my favorite branch of math at that time – felt like just symbol manipulation. Geometry was one branch I never truly liked – primarily because my drawing skills were very poor – I couldn’t draw a circle even with a compass, my circles would never close. But also, I just couldn’t see the point of opposite angles of intersecting lines being equal or the artificial distinction between but equilateral and isosceles triangles and so on. I remember asking in 6th or 7th grade where all the theorems about isosceles angles are all used in real life and getting a huge scolding from my teacher.

I can keep going on. Basically, higher level math – anything beyond simple arithmetic – felt like just a load of useless, impractical, theoretical garbage.

Aside: Algebra was my favorite branch because I had discovered formulae like a^2-b^2 = (a-b) * (a+b) by myself independently. That was my first intellectual achievement ever. My only clue was the observation that the difference between successive squares differ by 2. I was writing up squares of all numbers upto 32 as part of my classwork and noticed that 24^2=576, 25^2=625, 26^2=676; i.e. 25^2-24^2 = 49 and 26^2-25^2=51 and noticed that the pattern can be extended forever i.e. 27^2-26^2 = 53, 28^2-27^2 = 55 and so on. I was 11 or 12 around that time. And it took me around 4-5 months of thinking and thinking about this pattern before I came up with the formula. I didn’t know algebra at that time, I actually expressed it in terms of words, Tamil words at that 🙂 Something like:

ஒரு வர்க்கத்திலிருந்து இன்னொரு வர்க்கத்தை கழித்தால் கிடைக்கும் எண் அவற்றின் வர்க்கமூலங்களின் வித்தியாசத்தை வர்க்கமூலங்களின் கூட்டலால பெருக்கினால் கிடைக்கும் எண்ணுக்கு சமம்

When I came across algebra in 9th standard (I think), it felt great! I suddenly had a language to think about these kind of things. But 2-3 years later, I had come to think of algebra as rote manipulation of symbols according to certain predefined rules, just useless theory.

Then I came across Bell’s book. Bell made math come alive for me. Suddenly, I understood limits after reading the chapters on Fermat and Newton. In fact, it made perfect sense. Though I didn’t expect to use it myself, I suddenly saw why calculus is useful; not just useful, but necessary to understand the laws of physics. I suddenly saw imaginary numbers in terms of a co-ordinate plane and things just clicked. Multiplication of one negative number by another? Just a directional change along the number line.

When I read about Descartes, suddenly geometry became a discipline that I could master, by coming from a different angle. I got pretty decent at co-ordinate geometry, and I attribute that to entirely Bell’s effect. In fact, I had a voice at the back of my mind going that I could have done this, I could have invented co-ordinate geometry myself, Decartes’ achievements aren’t that great. That feeling that I could have created analytical geometry myself was enough to hook me onto math forever.

I read about Poncelet and the romantic account of his discovery of Projective geometry from prison, it made great sense. I desperately wanted a textbook on projective geometry and couldn’t get one. When I joined engineering, that one chapter gave me a fundamental understanding of engineering drawing class. I was still pretty bad at drawing, but I could clearly understand and in fact even go beyond what was taught in class. One chapter – just 10 pages or so – made a discipline real for me.

Of course, there were things I didn’t quite understand as well e.g. Fourier series, Analysis in general, Ellipitic integrals, Group theory, Riemann Hypothesis, chapters on Hermite and Poincare, but it just didn’t matter. I still don’t understand many of these topics. But I found enough to fascinate me. Cantor’s infinities, the Dedekind cut, Zeno’s paradoxes, Weirstrauss’s continuous but non-differentiable curve, Non-Euclidean geometries (The instant I was told to imagine a sphere, I could see how the fifth axiom is not valid any more), Fermat’s Last Theorem, the list goes on.

I didn’t see the point of of several of these topics as well e.g. I didn’t think Hamilton’s quarternions would ever find any use. But now I was confident that somewhere there must be a use for it. I read that number theory didn’t have much practical use, but I found it the most fascinating of all branches of math. Now of course, primes are crucial in cryptography…

Bell had a habit of combining the biography with tantalizing bits of math. For instance, he just mentioned Wilson’s Theorem in passing and would make a remark like a high school student can prove it. I think I spent 3-4 months thinking about it before I came up with a proof of my own. I can still vividly remember the thrill when I realized that every number has an inverse in modulo arithmetic. Wilson’s theorem was one of my rare successes, though. I probably failed in trying to prove 90% of what I attempted. No matter. I don’t think I had that much fun learning, just trying to figure out things before and after those 12-15 months in my teens.

I also spent hours ranking the mathematicians in that book in my mind. Gauss was always the #1. Descartes never got a high ranking from me because I felt that if a high school student like me can derive analytical geometry, then Descartes doesn’t deserve lot of credit. But I remember ranking Archimedes, Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Abel, Galois, Riemann and Cantor as the top mathematicians.

One of my great regrets is that I couldn’t convey my enthusiasm for the book to my daughters – or for that matter, anybody else. I even bought a copy for Jeyamohan, but I doubt whether he actually opened the book any time. 🙂

Later I came to know that Bell would now and then exaggerate to make the biography more interesting. I couldn’t care a rat’s ass. He had done his job – kindled a life long fascination with math in a govt school kid brought up mostly in villages. I just wish I had gone beyond the dilettante stage and actually learned math. I would have enjoyed working on number theory!

Aside: When my daughter went for a familiarization tour to her college (UC Santa Barbara), Yitang Zhang – one of the romantic stories of math today – was giving an introductory lecture on the prime gap. I think I was the only one who was listening; I was actually thrilled with that lecture! My wife and daughters still make fun of my asking questions at the end of the lecture. I could see how his proof that the prime gap is less than 70 million ties in with Goldbach conjecture, and I was remembering Bell gratefully…

Category: Math

தோல்வி – Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture

லாஜிகாமிக்ஸ் புத்தகத்தை எழுதிய அதே அப்போலோஸ் டாக்சியடிஸ்தான் இந்தப் புத்தகத்தையும் எழுதி இருக்கிறார். கொஞ்சம் கணிதம் தெரிந்தால் இந்தப் புத்தகத்தின் பின்புலத்தை முழுதாக உள்வாங்கிக் கொள்ள முடியும்.

ஆனால் புத்தகம் கணிதத்தைப் பற்றி அல்ல. திறமை இருந்தும் தோற்பதைப் பற்றி. உங்களுக்குத் திறமை இருக்கிறது. ஆனால் எத்தனை திறமைசாலி நீங்கள்? கிரிக்கெட்டில் உங்களுக்கு நன்றாக பேட்டிங் வருகிறது. ஆனால் நீங்கள் இன்னொரு டெண்டுல்கரா? அட டெண்டுல்கர் அளவுக்கே திறமைசாலி என்றே வைத்துக் கொள்வோம். ஆனால் உங்களுக்கு வாய்ப்பு கிடைத்த அன்று அம்பயர் தவறாக அவுட் கொடுத்துவிட்டால்? அன்றைக்கு பார்த்து பிடிக்கவே முடியாத ஷாட்டை எப்படியோ காட்ச் பிடித்துவிட்டால்? நீங்கள் டெண்டுல்கராகப் பரிமளிக்கிறீர்களா இல்லை அவரது பள்ளித் தோழர் காம்ப்ளியாக முடிகிறீர்களா என்று யாரால் சொல்ல முடியும்? அட டெண்டுல்கரையும் காம்ப்ளியையும் விடுங்கள் எழுபதுகளில் காவஸ்கரும் விஸ்வநாத்தும் ஏறக்குறைய சமமான திறமை வாய்ந்தவர்கள்தான். இருவரும் இந்திய கிரிக்கெட் அணியின் இரண்டு தூண்களாகத்தான் இருந்தார்கள். காவஸ்கரே மீண்டும் மீண்டும் என்னை விட விஸ்வநாத்தான் நல்ல பாட்ஸ்மன் என்று சொல்லி இருக்கிறார். இன்று விஸ்வநாத்தை நினைவு வைத்திருப்பவர்கள் யார்?

புத்தகம் அப்படி திறமை வாய்ந்த ஒரு கணித ஆராய்ச்சியாளரை, அவரது தோல்வியைத்தான் பேசுகிறது. தோல்வியின் சித்தரிப்புதான் இந்தப் புத்தகத்தை உயர்த்துகிறது. அவர் என்ன ஆராய்ச்சி செய்தார் என்பதெல்லாம் இரண்டாம் பட்சம்தான்.

புத்தகத்தின் நாயகன் பெட்ரோஸ் பெரியப்பா. அவரது தம்பியின் மகனின் கண்ணோட்டத்தில் கதை சொல்லப்படுகிறது. தம்பிகள் நடத்தும் தொழிற்சாலையிலிருந்து பெரியப்பாவுக்கு பணம் வருகிறது. தனியாக செஸ் விளையாடிக் கொண்டும் தோட்ட வேலை செய்து கொண்டும் காலத்தைக் கழிக்கிறார். ஆனால் தம்பிகளுக்கு அண்ணன் மேல் நிறைய கோபம். கூட சேர்ந்து தொழில் நடத்தவில்லை என்றல்ல. கணிதத்தில் மேதைமை இருந்தும் பேரும் புகழும் பெறாமல் இப்படி ஓபி அடிக்கிறாரே என்றுதான் கோபம்.

சிறு வயதிலேயே பெட்ரோஸ் கணித மேதையாக வருவார் என்று தெரிகிறது. ஓரளவு பணக்காரக் குடும்பம். பணப் பிரச்சினைகள் இல்லாமல் ஆராய்ச்சி செய்ய முடிகிறது. ராமானுஜன், ராமானுஜனைக் ‘கண்டுபிடித்த’ ஹார்டி, லிட்டில்வுட் ஆகியோரோடு சேர்ந்து ஆய்வுகள் செய்கிறார். புகழை பங்கு போட்டுக் கொள்ள விரும்பாததால் அவர்களிடமிருந்து பிரிந்து வந்து கணிதத்தில் இன்றும் நிரூபிக்கப்படாத Goldbach’s Conjecture-ஐ நிரூபிக்க முயற்சி செய்கிறார். தனக்கு முன் யாரும் அதை நிரூபித்துவிடக் கூடாது என்று தன் ஆய்வை ரகசியமாக வைத்திருக்கிறார், யாரிடமும் பேசுவதே இல்லை. நிரூபிக்க முடியாவிட்டாலும் வேறு சில தேற்றங்களைக் கண்டுபிடிக்கிறார். அதை வெளியே சொன்னால் அதை வைத்து தன்னை யாரும் முந்திவிடக் கூடாது என்று ரகசியமாக வைத்திருக்கிறார். கடைசியில் அதை வெளியிடும்போது அவருக்கு முன்னால் வேறு ஒருவர் அந்தத் தேற்றங்களை கண்டுபிடித்தது தெரிய வருகிறது. விடாமல் முயற்சிக்கிறார், அப்போது கர்ட் கோடலின் Incompleteness Proof வெளிவருகிறது. தான் இத்தனை வருஷம் உழைத்த ஒரு விஷயத்தை நிரூபிக்க முடியுமா இல்லை முடியவே முடியாதா என்று கூட சொல்ல முடியாத நிலையில் எல்லாவற்றையும் விட்டுவிட்டு செஸ் ஆடிக் கொண்டிருக்கிறார்.

நான் இதில் வரும் கணிதக் கருத்துகளை எல்லாம் விவரிக்கப் போவதில்லை. ஆனால் வேறொரு தளத்தில் வைத்துப் பார்க்கலாம். எழுதும் எல்லாரும் ஜெயமோகன் ஆகிவிட முடியாது, உங்கள் மனதில் இருக்கும் ஒரு கரு வேறொருவரால் எழுதப்படும்போது ஏற்படும் ஏமாற்றம் எல்லாம் புரிந்து கொள்ளக் கூடியவைதானே! அந்த சித்தரிப்புக்காகப் படியுங்கள் என்று பரிந்துரைக்கிறேன்.

தொகுக்கப்பட்ட பக்கம்: உலக இலக்கியம், கணிதம்

1+1 = ? – ஒரு கணித மேதையின் பிரச்சினைகள்

logicomixஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டு என்று தெரியாத குழந்தை கூட கிடையாது. ஆனால் உயர்கணிதத்தில் அது பெரிய பிரச்சினை. ஒன்றும் ஒன்றும் எப்போதும் இரண்டுதானா? டைனோசார்கள் உலவிய நாட்களிலும் ஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டுதானா? இன்னும் பல கோடி ஆண்டுகள் கழித்தும் இதே விடைதானா? செவ்வாய் கிரகத்தில் ஒன்றையும் ஒன்றையும் கூட்டினால் இரண்டுதான் விடையா? நாளை இன்னொரு கிரகத்தின் ‘sentient’ ஜீவராசி ஒன்றை சந்திக்கிறோம் என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள், அந்த ஜீவராசியின் கணிதத்திலும் ஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டுதானா? அட நாளை நம்மூரிலேயே தேனீக்களும் ‘sentient’ உயிரினம்தான் என்று தெரிய வருகிறது, தேனீ கணிதத்திலும் இது உண்மையாக இருக்குமா?

இது வேலை வெட்டி இல்லாதவர்கள் How many angels can dance on the head of a pin? என்று செய்யும் ஆராய்ச்சி அல்ல. இன்றைய கணினிகளில் 1+1 எப்போதும் இரண்டுதான், ஆனால் 1/3 + 2/3 எப்போதும் ஒன்றுதான் என்று சொல்ல முடியாது. சில வருஷங்களுக்கு முன் pentium bug என்று ஒரு பிரச்சினை நினைவிருக்கலாம். ஏதோ சில (அபூர்வமான) கணக்குகள் தவறாக இருந்தன. ஏன்? எண்களை கணினியில் எப்படி represent செய்ய முடியும் என்ற பிரச்சினை இன்றும் முழுதாகத் தீர்ந்துவிடவில்லை.

பெர்ட்ரண்ட் ரஸ்ஸலை தத்துவ மேதையாகத்தான் அனேகருக்குத் தெரியும். ரஸ்ஸல் கணித மேதையும் கூட. அவரது தத்துவ விசாரங்கள் எல்லாம் அவருடைய கணித ஆராய்ச்சியிலிருந்து உதித்தவைதான். ரஸ்ஸலும் வைட்ஹெடும் இணைந்து எழுதிய பிரின்சிபியா மாதமாடிகா 1+1 = 2 என்பதை 362 பக்கங்களில் – கணித சூத்திரங்கள் (formulae) அடர்த்தியாக நிறைந்திருக்கும் பக்கங்கள் – நிறுவுகிறது.

லாஜிகாமிக்ஸ் ஏறக்குறைய ரஸ்ஸலின் கதைதான். Apostolos Doxiadis மற்றும் Christos Papadimitriou இருவரும் எழுதி இருக்கிறார்கள். எப்படி? காமிக்ஸ் புத்தக வடிவில்! காமிக்ஸ் புத்தக வடிவில் ஓரளவு உயர்கணிதத்தைப் பற்றி எழுதப்பட்டது இதுதான் முதல் முறை ஒரே முறை என்று நினைக்கிறேன்.

யோசித்துப் பாருங்கள், 1+1 = 2 என்பது பெரிய கம்ப சூத்திரமாகத் தெரியவில்லை. ஆனால் 1 என்ற குறியீட்டின் பொருள் என்ன? +? இப்படியே பொருள் தேடிக் கொண்டே போனால் It is turtles all the way down! என்றுதான் முடியும் இல்லையா? எங்கோ ஓரிடத்தில் வரையறைகளை (axioms) பயன்படுத்த வேண்டி இருக்கிறது, இந்தக் குறியீட்டுக்கு இதுதான் பொருள் என்று வரையறுக்க வேண்டி இருக்கிறது. உதாரணமாக 1 என்பதை ஒரே ஒரு உறுப்பினர் இருக்கும் அனைத்து தொகுப்புகளுக்கும் பொதுவான அடிப்படை குணம் என்று ரஸ்ஸல் வரையறுக்கிறார். ஆங்கிலத்தில் சொன்னால் 1 is the common, basic property of all sets with exactly one element. (விருப்பமுள்ளவர்கள் இந்த வாக்கியத்திலும் ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் வரையறுத்துக் கொண்டே போகலாம்.). பிறகு எண்களைப் பற்றி தேற்றங்களை நிறுவுவதற்கு கணிதத்தின் set theory-ஐப் பயன்படுத்தலாம். அப்படித்தான் 1+1 = 2 என்று நிறுவ 362 பக்கம் ஆகி இருக்கிறது என்று நினைக்கிறேன்.

bertrand_russellரஸ்ஸல் பிரபு குடும்பத்தில் பிறந்தவர். அவரது தாத்தா ரஸ்ஸல் பிரபு இங்கிலாந்தின் பிரதமராக இருந்தவர். சிறு வயதிலேயே பெற்றோர் இறந்துவிட, கண்டிப்பான பாட்டியின் கண்காணிப்பில் வளர்ந்திருக்கிறார். கணிதத்தின் நிச்சயத்தன்மை (வரையறைகள், வரையறைகளிலிருந்து தேற்றங்கள்…) அவரைக் கவர்ந்திருக்கிறது. ஆனால் கல்லூரி காலத்திலேயே கணிதத்தின் அஸ்திவாரங்கள் (ஒன்றும் ஒன்றும் எப்போதும் இரண்டுதானா?) கொஞ்சம் பலவீனமானவை என்று உணர்ந்திருக்கிறார். சரியான அடிப்படை விதிகளைக் கொண்டு (தேவைப்பட்டால் இன்னும் சில அடிப்படை விதிகளை சேர்த்துக் கொண்டாவது) எல்லா உண்மையான தேற்றங்களையும் நிறுவும் ஆற்றல் கணிதத்துக்கு உண்டு என்று நிறுவ முயன்றிருக்கிறார்.  அந்த முயற்சிதான் Principia Mathematica.

இந்தக் காலத்தில்தான் அவரது புகழ் பெற்ற நாவிதர் முரண் (Barber Paradox ) உருவாகியது. மிக சிம்பிளாக: ஒரு ஊரில் ஒரு நாவிதர். ஊரில் ஒரு விதி இருக்கிறது. சுயமாக தாடியை சிரைத்துக் கொள்ளாத அனைவரும் நாவிதரிடம்தான் சிரைத்துக் கொள்ள வேண்டும். நாவிதர் தன் தாடியை சிரைத்துக் கொள்ளலாமா? ஆம் என்றால் அவர் தன் தாடியை தானே சிரைத்துக் கொள்கிறார், அதனால் நாவிதர் சிரைக்கக் கூடாது என்று சொல்லலாம். இல்லை என்றால் அவர் தன் தாடியேத் தானே சிரைத்துக் கொள்ளாததால் நாவிதர்தான் சிரைத்துவிட வேண்டும் என்று சொல்லலாம்.

முதல் உலகப் போர் கூடாது என்று பிரச்சாரம் செய்து அதற்காக சிறைப்படுத்தப்பட்டிருக்கிறார்.

பிற்காலத்தில் தத்துவ மேதை விட்கென்ஸ்டைன் இவரிடம் படித்திருக்கிறார். விட்கென்ஸ்டைன் சுவாரசியமான ஆளுமை, ஆனால் இன்று வரை எனக்கு அவர் என்ன சொல்கிறார் என்று புரிந்ததில்லை, அதனால் வேறு எதுவும் எழுதப் போவதில்லை. விருப்பம் உள்ளவர்கள் விக்கி குறிப்பைப் படித்துக் கொள்ளுங்கள்.

அதற்குப் பிறகு கர்ட் கோடல் ஆட்டத்துக்கு வருகிறார். வரையறைகள், தேற்றங்கள், லாஜிக் என்று இயங்கும் எந்த கணித சிஸ்டமும் முழுமையானது அல்ல என்பதை கணிதத்தை வைத்தே நிறுவுகிறார். ரஸ்ஸலின் முயற்சி தோல்வி என்று தெரிகிறது.

எப்போதுமே நான் காமிக்ஸ் புத்தகங்களை விரும்பிப் படிப்பவன். இதில் சித்திரங்கள் நன்றாக இருக்கின்றன. புத்தகத்தின் நடுவில் ஆசிரியர்கள் அவ்வப்போது தாங்கள் எப்படி எழுதினோம் என்பதைப் பற்றி பேசுகிறார்கள். அந்தப் பகுதிகள் கொஞ்சம் உறுத்தலாக இருந்தாலும் படியுங்கள் என்று பரிந்துரைக்கிறேன்.

புத்தகம் முழுவதும் சின்னச் சின்ன சுவாரசியமான விஷயங்கள். Principia Mathematica புத்தகத்தை பிழை திருத்தவோ, அதில் தவறுகளை சுட்டிக் காட்டவோ யாரும் முன்வரவில்லை. யாருக்கும் புரியவில்லை! பிழை திருத்தவே ஆளில்லை என்றால் புத்தகத்தை எவன் வாங்குவான்? ரஸ்ஸலும் வைட்ஹெடும் சொந்தச் செலவில் வெளியிட்டிருக்கிறார்கள்.

இவரது முன்னோடியான ஃப்ரெகே கணிதத்தில் அஸ்திவாரத்தை பலப்படுத்த set theory-ஐப் பயன்படுத்தி பல வருஷங்களாக ஒரு புத்தகம் எழுதிக் கொண்டிருக்கிறார். தனது புத்தகத்தைப் பதிக்கப் போகும்போது இந்த நாவிதர் முரண் வெளிவந்திருக்கிறது. இந்த முரண் set theory-இன் அடிப்படையையே கேள்விக்குள்ளாக்குகிறது, ஃப்ரெகே தனது புத்தகத்தை முதலில் பதிக்க வேண்டாம் என்று சொல்லி இருக்கிறார். பிறகு என் புத்தகத்தின் அடிப்படையையே இந்த முரண் பலவீனப்படுத்துகிறது என்பதை முதல் பக்கத்தில் சொல்லிவிட்டு பிறகுதான் பதித்திருக்கிறார்.

Principia Mathematica புத்தகத்தை முழுவதும் படித்த ஒரே ஆள் கோடல்தானாம்!

உயர் கணிதத்துக்கு நல்ல, படிக்கக் கூடிய அறிமுகம். படியுங்கள் என்று பரிந்துரைக்கிறேன்.

தொகுக்கப்பட்ட பக்கம்: கணிதம், காமிக்ஸ்

கோடலின் நிரூபணம் (Godel’s Proof)

ஒரு விதத்தில் பார்த்தால் கணிதம் என்பதே பல தேற்றங்களின் தொகுப்புதான். தேற்றம் என்பதை formal ஆக இப்படி வரையறுக்கலாம். நமக்கு தெரிந்த “உண்மைகளை”, தேற்றங்களை ஆதாரமாக வைத்து இன்னும் சில தேற்றங்களை கண்டுபிடிக்கிறோம். உதாரணமாக நமக்கு இப்படி ஒரு தேற்றம் தெரியும் என்று வைத்துக் கொள்வோம் – எந்த எண்ணையும் பூஜ்யத்தால் பெருக்கினால் பூஜ்யம்தான் விடை. அதாவது: For all x , x times 0 is 0 என்று நமக்குத் தெரியும். இந்த தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு இப்போது ஒரு புதிய தேற்றத்தை நாம் நிறுவ முடியும். இரண்டு எண்களின் பெருக்குத் தொகை பூஜ்யம் என்றால் அந்த இரண்டில் ஏதோ ஒரு எண் பூஜ்யம். அதாவது: if x times y is 0, then x is 0 or y is 0. சிம்பிள், சரிதானே! இப்படி தேற்றங்களை கண்டுபிடித்துக் கொண்டே போகலாம்.

கணிதத்தின் லட்சியமே இதுதான் என்று சொல்லலாம். மிகச் சில axioms – இவைதான் அடிப்படை விதிகள் – மற்றும் வரையறைகளோடு ஆரம்பிக்க வேண்டும். இந்த அடிப்படை விதிகள், வரையறைகள் பொதுவாக நிஜ வாழ்க்கையிலிருந்து எடுக்கப்படும். (இரண்டு கோடுகள் ஒரு புள்ளியில்தான் சந்திக்கும் என்கிற மாதிரி) அந்த அடிப்படை விதிகளை அஸ்திவாரமாக வைத்து மேலும் மேலும் தேற்றங்கள் நிறுவப்படும். நிறுவுவதற்கு லாஜிக் பயன்படுத்தப்படும். எந்தக் காலத்திலும் 1=2 என்பது போன்ற தவறுகளை தேற்றங்களாக நிறுவமுடியாது. இருக்கும் அத்தனை தேற்றங்க ளையும் நிறுவக் கூடிய ஆற்றல் அந்த axioms, மற்றும் லாஜிக்குக்கு இருக்க வேண்டும். Trivial ஆக சொன்னால்: கூட்டல் என்ற சின்ன விஷயத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். எல்லா கூட்டல் உண்மைகளையும் நிறுவ வேண்டியதில்லை. உதாரணமாக 176000 கோடியுடன் ஒன்றைக் கூட்டினால் என்ன விடை என்று ஏற்கனவே நிறுவி இருக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் நிறுவக் கூடிய ஆற்றல் கூட்டல் என்ற சிஸ்டத்துக்கு இருக்க வேண்டும்.

இது அற்ப விஷயம் இல்லை. மயிர் பிளக்கும் விஷயமும் இல்லை. நான்கு வண்ண தேற்றம் (Four Color Theorem) என்று ஒரு தேற்றம் இருக்கிறது. – ஒரு மேப்பில் (map) பல பிரதேசங்களை காட்டுகிறோம். ஒவ்வொரு பிரதேசத்துக்கும் ஒரு வண்ணம் கொடுக்கிறோம். அடுத்தடுத்து இருக்கும் பிரதேசங்களுக்கு (அதாவது இந்த பிரதேசங்களுக்கு ஒரு பொதுவான எல்லை இருக்கிறது) வேறு வேறு வண்ணம் கொடுத்தால்தான் அவை வேறு வேறு பிரதேசங்கள் என்று தெரியும் இல்லையா? அப்படித்தான் கொடுக்கப் போகிறோம். அதிக பட்சம் எத்தனை வண்ணங்கள் வேண்டும்? நான்கு வண்ணங்கள் போதும் என்கிறது இந்த தேற்றம். இதை சமீபத்தில்தான் நிறுவ முடிந்தது. அது வரை இந்த தேற்றம் உண்மைதானா, உண்மையாக இருந்தாலும் கணிதத்தால் அதை உண்மை என்று நிறுவ முடியுமா என்று தெரியவில்லை. இப்படி நீண்ட காலமாக நிறுவ முடியாத தேற்றங்கள் உண்டு – Goldbach’s Conjecture இன்னும் நிறுவப்படவில்லை. Fermat’s Last Theorem நானூறு வருஷங்களுக்குப் பிறகு சமீபத்தில்தான் நிறுவப்பட்டது.

பல கணித மேதைகள் சரியான அடிப்படை விதிகளைக் கொண்டு (தேவைப்பட்டால் இன்னும் சில அடிப்படை விதிகளை சேர்த்துக் கொண்டாவது) எல்லா உண்மையான தேற்றங்களையும் நிறுவும் ஆற்றல் கணிதத்துக்கு உண்டு என்று நிறுவ முயற்சி செய்தார்கள். பெர்ட்ராண்ட் ரஸ்ஸல், டேவிட் ஹில்பர்ட் போன்றவர்கள் இவர்களில் பிரபலமானவர்கள். இவர்கள் எல்லாருக்கும் கர்ட் கோடல் (Kurt Godel ) ஆப்பு வைத்துவிட்டார்.

கோடல் 1931-இல் ஒரு seminal பேப்பரை எழுதினார். அடிப்படை விதிகள், லாஜிக் என்று போகும் எந்த சிஸ்டத்திலும் சில உண்மையான தேற்றங்களை நிறுவ முடியாது என்பதுதான் அவரது கண்டுபிடிப்பு. அதாவது எந்த கணித சிஸ்டமும் முழுமையானது இல்லை. எல்லா உண்மையான தேற்றங்களையும் இப்படிப்பட்ட – அடிப்படை விதிகள், அதை வைத்து தேற்றங்கள், நிறுவப்பட்ட தேற்றங்களை வைத்து மேலும் தேற்றங்கள் – எந்த சிஸ்டத்தாலும் நிறுவ முடியாது. அடிப்படை விதிகளை எவ்வளவு விரிவுபடுத்தினாலும் இது முடியாத காரியம். இதைத்தான் கோடல் இந்த பேப்பரில் நிரூபிக்கிறார்.

கோடலின் இந்த கண்டுபிடிப்பைப் பற்றி எர்னெஸ்ட் நேகல் (Ernest Nagel), மற்றும் ஜேம்ஸ் நியூமன் (James Newman ) இருவரும் ஒரு சின்ன புத்தகம் – Godel’s Proof – எழுதி இருக்கிறார்கள். கோடல், எஷர் அண்ட் பாக் (Godel, Escher and Bach) என்ற புகழ் பெற்ற புத்தகத்தை எழுதிய டக்ளஸ் ஹாஃப்ஸ்டட்டர் (Douglas Hofstadter) அதன் இரண்டாம் பதிப்பை கொண்டு வந்திருக்கிறார். (என்) தலையை சுற்ற வைக்கும் கணிதத்தை சிம்பிளாக சொல்ல முயற்சித்திருக்கிறார்கள்.

சின்ன புத்தகம்தான். நூறு பக்கம் இருக்கலாம். 75 பக்கத்துக்கு மேல்தான் (எனக்கு) தலை சுற்ற ஆரம்பிக்கிறது. ஆனால் படித்துப் புரிந்து கொள்ளக் கூடிய புத்தகம்தான்.

நான் புரிந்து கொண்டது இதுதான். கணித நிரூபணம் என்பது ஒரு விதமான மொழி. For all x , x times 0 is 0 என்பதை நீங்கள் கணித மொழியின் alphabet-இல் சில குறியீடுகளை வைத்து சுருக்கமாக எழுதலாம். அந்த கணித font-ஐ வோர்ட்பிரஸ்ஸில் எப்படி பயன்படுத்துவது என்று தெரியாததால் நான் ஆங்கிலத்தில் அதை விரிவாக எழுத வேண்டி இருக்கிறது.

இந்த alphabet-இன் ஒவ்வொரு எழுத்துக்கும் கோடல் ஒரு எண்ணை map செய்கிறார். உதாரணமாக 0 என்ற குறியீட்டுக்கு 6 என்று ஒரு எண். (இது கோடலின் mapping இல்லை, நான் ஒரு உதாரணம் கொடுத்திருக்கிறேன், அவ்வளவுதான்) அப்படி என்றால் ஒவ்வொரு ஸ்டேட்மென்டையும் ஒரு எண்ணாக மாற்றலாம். இதுதான் அந்த ஸ்டேட்மேன்டின் கோடல் எண் (Godel Number). ஒவ்வொரு நிரூபணத்திலும் உள்ள ஸ்டேட்மென்ட்களை இப்படி கோடல் எண்ணாக மாற்றலாம். ஒவ்வொரு நிரூபணமும் ஒரு சில கோடல் எண்களின் தொகுப்பே.

கணிதத்தில் சில புகழ் பெற்ற paradoxes உண்டு. சிம்பிளான ஒரு ஸ்டேட்மெண்டை எடுத்துக் கொள்வோம் – “நான் சொல்வதெல்லாம் பொய்”. நான் சொல்வதெல்லாம் பொய் என்றால் இந்த ஸ்டேட்மெண்டும் பொய். அப்படி என்றால் நான் சொல்வதெல்லாம் பொய் இல்லை, இந்த ஒரு ஸ்டேட்மென்டாவது உண்மை! ஆனால் இந்த ஸ்டேட்மென்ட் உண்மை என்றால் நான் சொல்வதெல்லாம் பொய். அப்படி என்றால் இந்த ஸ்டேட்மென்ட் பொய்!

இதன் இன்னொரு புகழ் பெற்ற வடிவம்தான் நாவிதன் paradox. (barber paradox ). தமிழில் எழுதி மூச்சு வாங்குவதால் ஆங்கிலத்திலேயே கட் பேஸ்ட் செய்கிறேன்.
Suppose there is a town with just one male barber; and that every man in the town keeps himself clean-shaven: some by shaving themselves, some by attending the barber. It seems reasonable to imagine that the barber obeys the following rule: He shaves all and only those men in town who do not shave themselves.
Under this scenario, we can ask the following question: Does the barber shave himself?
Asking this, however, we discover that the situation presented is in fact impossible:
If the barber does not shave himself, he must abide by the rule and shave himself.
If he does shave himself, according to the rule he will not shave himself.

கோடலின் நிரூபணமும் இதன் ஒரு வடிவத்தைத்தான் பயன்படுத்துகிறது. இந்த கோடல் எண்களின் தொகுப்பை நிறுவ முடியாது என்ற தேற்றத்தை கோடல் நிறுவ முயற்சிக்கிறார். முடிவதில்லை. அதுதான் சிஸ்டத்தின் முழுமை அற்ற தன்மையைக் காட்டுகிறது. (எனக்கு இந்த பகுதி கொஞ்சம் ததிங்கினத்தோம், மீண்டும் படிக்க வேண்டும்)

பொதுவாக self-referential ஸ்டேட்மென்ட்கள் கணிதத்தில் பெரிய பிரச்சினை. அதை கோடல் formal ஆக அணுகி நம் விஞ்ஞானத்தின் முழுமை அற்ற தன்மையை காட்டுகிறார்.

புத்தகத்தை படியுங்கள் என்று சிபாரிசு செய்கிறேன். அமேசான் தளத்தில் கிடைக்கிறது. ஏழு டாலர் சொச்சம் விலை.